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写给5年级的学生:球公式是如何推导出来的?

文章出处:网络整理 人气:发表时间:2021-04-11

有一天一个朋友在微信群里发问:各位帮忙啊,儿子问球表面积和体积的公式怎么推导的,怎么用小学五年级能理解的语言解释这件事?

这真是个好问题。孩子的求知欲已经不满足死记硬背

想知道背后的原因。我的孩子尚小,还在理解加减法的阶段,问不出这么有深度的问题。不过我相信为人父母者,面对好学求知的孩子,一定都会知无不言、言无不尽吧。可是,怎么解释清楚呢?本文尝试梳理一下推导过程,看看能否用初等的数学解释,也算是一个挑战。闲话少说,且听慢慢道来。

长方形、三角形、梯形面积

先从长方形面积开始。大家都知道长方形的面积是底 *高,直观上不难理解:这就是数一数图中有多少单位小正方形而已。堆了 m 排小正方形,每排有 n 个,总数就是 m*n 个;每个小正方形的面积是1,所以总面积是 m*n。把整数 m,n 换成分数也一样成立,无非是以更小的正方形做单位来数而已。

写给5年级的学生:球公式是如何推导出来的?

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把两个三角形或者两个梯形一正一反拼起来,得到了长方形。由此得到三角形的面积是长方形的一半, 也就是(底*高)/2,而梯形的面积是 (上底 +下底)* 高/2。甚至可以说,三角形是梯形面积公式的特例,三角形是上底 =0的梯形,长方形则是上下底相同的梯形。所以只需要一个梯形公式就够了,它概括了全部三种情形。

写给5年级的学生:球公式是如何推导出来的?

图:两个直角梯形拼成长方形,摘自easycoursesportal.com

大数学家高斯小时候算1+2+3+...+100=5050的故事,大家恐怕是耳熟能详了。高斯使用的等差数列求和公式,总和= (首项+末项)* 项数/2,本质上和梯形面积公式是一回事:首项、末项分别是上底和下底,项数是高。这个例子看出数学是广泛联系的整体,求数列和、求面积体积、求积分,都是一个东西,只是符号不同罢了

斜三角形面积和祖暅原理

好学的孩子可能会马上指出,上面的做法计算三角形和梯形的面积,只适用于直角三角形和直角梯形。为什么对一般的“斜三角形、斜梯形”也成立?

简单的解释是斜三角形,一正一反会拼成等底等高的平行四边形。而平行四边形可以不断切掉斜角补到另一侧(有时可能要做多次),变成一个等底等高的长方形。所以平行四边形的面积也是底 * 高,上面三角形和梯形公式仍然成立。

写给5年级的学生:球公式是如何推导出来的?

图:平行四边形面积等于长方形面积,摘自 mathbits.com

然而有更好的解释:任意两个等高的图形,如果对应高度上的平行截线长度都相同,则它们的面积相同。这是个很强大的原理,并不限于三角形和梯形。而且在三维空间上也成立:任意两个等高的物体,如果对应高度上的平行截面积都相同,则它们的体积相同

写给5年级的学生:球公式是如何推导出来的?

图:根据祖暅原理,左右两个图形面积相等,摘自 mathbits.com

这就是有名的祖暅原理,由南北朝时期的数学家祖暅之提出。祖暅之是祖冲之的儿子,他们父子都很了不起,是中国古代数学的骄傲。西方数学文献中,这个原理被归在十七世纪意大利数学家卡瓦列里(Bonaventura Francesco Cavalieri)的名下。

祖暅原理不难理解:想象每个高度上,都被一个很细的小条覆盖住,小条的长度是这个高度上的截线长度,厚度是个很小的d 。所有小条的面积加起来就是图形的面积 —— 有些小误差,但是当 d -> 0 时误差就缩小到0,得到精确面积。既然这两个图形在每个高度上的截线长度都相同,对应的小条的面积也相同,所以总面积自然也一样。上述推理应用到三维空间也成立,只要把“截线长度”换成“截面面积”就好了。

维基百科的条目上给了个有趣的图示:想象桌上放一摞硬币,堆成的柱体的体积就是硬币的总体积(左图)。把硬币随意水平移动,得到了另一个柱子(右图)。新柱子的每个截面面积和原来的柱子的对应截面面积一样,体积也没变,因为还是那堆硬币的总体积。这个例子展示了祖暅原理的原因。

写给5年级的学生:球公式是如何推导出来的?

图:摘自Wikipedia